med1um

В вашем коде нехватает лишь указать: в какую именно вкладку вы хотите передать сообщение.
Вкладок-то много. У меня пара десятков обычно :)
Т.е вам надо определить объект tab в выражении tab.id перед тем как отправлять сообщение.
Например, если нужно передать сообщение в активную вкладку, то tab можно определить так:

chrome.tabs.query({active: true, currentWindow: true}, function(tabs) {
  var tab = tabs[0];
  chrome.tabs.sendMessage(tab.id, {content: "message"}, function(response) {});
});