Ihor Peresunko

Почему конкретно не получается? Есть ошибки?
Вынесете запуск цикла из функции. Вот рабочий пример.

import asyncio


class Document:
    async def save(self, name):
        await asyncio.sleep(1)
        print(f'Document "{name}" has saved')


async def first():
    name = "test_document.doc"
    print("Run first function")
    await second(name)


async def second(name):
    await Document().save(name)


asyncio.run(first())

Из функции first можно асинхронно сохранять как один документ, так и несколько (через await asyncio.gather).

async def first():
    print("Run first function")
    await asyncio.gather(
        second('doc_1'),
        second('doc_2'),
        second('doc_3'),
    )

Из кода не понятна реализация класса Document, но я бы посоветовал сохранение тоже делать не блокирующим. Например можно использовать aiofile для асинхронного сохранения документов на диск.