Михаил

Из официальной документации видно, что при выполнении запроса, каждый раз создают пул.

Нет! Пул создаётся единожды, из которого потом при каждом запросе берётся соединение (на то он и пул).
Функция executeSQLStatement тоже не нужна, ито это то же самое, что и connection.query('', () => {}).
Делайте всё как в ответе Евгения, и всё будет хорошо

Создавайте пул запросов единожды при старте приложения.
Вот пример с драйвером для MySQL:

const { createPool } = require('mysql');
const pool  = createPool({
  connectionLimit : 10,
  host            : 'example.org',
  user            : 'bob',
  password        : 'secret',
  database        : 'my_db'
});

pool.query();

Несколько вариантов:
1) Сделайте поле 'name' уникальным. И пытайтесь записать в БД каждого нового пользователя. Если будет возникать ошибка, то возвращайте клиенту информацию, что такое имя уже есть.

2) Храните в отдельной таблице просто все имена. И с помощью неё уже сверяйте