Вопрос 1: Возможно ли перейти на новый хостинг, не имея доступа к старому, не будет ли конфликтов?
Можно.
Проще всего:
По FTP скачиваете сайт.
Заливаете по FTP phpmyadmin и сливаете базу. Доступы к базе есть в конфиге WP.
Бекап сайта разворачиваем на новом хостинге. Проверяем.
Сайт ушел на другой хостинг.
Вопрос 2: Не будет ли конфликта mx записей нового и старого хостинга, смогу ли я сохранить работоспособность почты?
Едем дальше.
1) Переписываем DNS записи с текущих NS (Timeout по A записи ставим минимальный)
2) Просим прописать свои NS - и передаем их Яндексу, Selectel, к новому хостеру или в любой другой dns хостинг - бесплатный или платный. Яндекс и Selectel бесплатные.
3) Меняем A запись на тот IP, который вам дал новый хостер
В этом месте сайт на новом хостинге отвечает, почта ходит по MX записи, которую вы скопировали и в общем то все должно быть ок.
4) Переносим домен от греха подальше к нормальному регистратору.
Если есть доступ к biz.mail.ru и нет желания от них уходить - оставляем как есть.
Если желание уходить есть - настраиваем imap на ящиках и клиентом тупо перекидываем почту со старых на новые. В мануалах яндекс почты для доменов была неплохая инструкция.