Сложный вопрос, отвечу как понял))
У тебя где-то хранится состояние когда пользователь залогинен, а когда нет? Через что ты контролируешь это?
Если как ты указал выше, mobX, то в стейте создай еще одно поле по типу logoutConfirm и меняй еще состояние. При нажатии на выход, меняй состояние logoutConfirm на pending например, и выводи этот блок с подтверждением. При нажатии меняй logoutConfirm на false например, если нажали нет и ее нужно держать в скрытом состоянии, и на true, если согласились и делай выход.
Я думаю это можно сделать только с помощью mobX, redux или useContext