Сергей

На фронте в классе CounterComponent создай метод, где по нажатию кнопки будет происходить желаемое действие:

export class CounterComponent {
    public currentCount = 0;

    constructor(private http: Http, @Inject('BASE_URL') private baseUrl: string) { }

    Increment(){
        this.http.get(this.baseUrl + 'api/SampleData/Increment').subscribe(result => {
            this.currentCount = result.json().value;
        }, error => console.error(error));
        // а вообще, для инкапсуляции запросов лучше использовать сервисы
    }
}

Затем навешай этот метод-обработчик на событие click:

<button (click)="Increment()"></button>
Или на любой другой тег

В экшене я бы рекомендовал всегда использовать объекты, как минимум - анонимные:

static int x = 0; // здесь нужен static, иначе всегда будешь получать в ответе число 1
[HttpGet("[action]")]
public IActionResult Increment()
{
     x++;
     return Ok(new {
         value = x
     });
}