Почта Яндекса никак не связана с наличием/функционированием сайта.
Главное - работает ли и корректно ли настроено доменное имя, для которого заведен почтовый ящик.
Т.о., если домен зарегистрирован, оплачен, корректно делегирован на DNS, DNS имеют хотя бы MX-запись, то почтовый ящик будет работать - на него будут приходить письма.
Чтобы добавить домен в pdd.yandex.ru, его нужно верифицировать одним из предложенных Яндексом способов. Сделать это может только владелец домена, имеющий данные доступа к панели управления доменом у регистратора домена. Точно также владелец домена может "отвязать" его от почты Яндекса. В этом случае, как минимум, на ящик перестанут приходить письма. По поводу удаления ящика - сильно сомневаюсь. Скорее всего ящик нужно будет удалять через pdd.yandex.ru.
