ежели совсем в лоб:
restoreFormPassword меняйте на id input, который хотите валидировать.
Пример:
if ( document.getElementById('restoreFormPasswordnew').value == '') {
document.getElementById('restoreFormPasswordnew').style.border = '1px solid #556B39';
document.getElementById('errormsg').innerHTML = 'Зaпoлните пoле.';
document.getElementById('errormsg_passwd_box').style.display = 'block';
return false;
} else {
document.getElementById('restoreFormPasswordnew').style.border = '1px solid #888b39';
document.getElementById('errormsg_passwd_box').style.display = 'none';
return true;
}
И вставляйте в конец функции