Если сайт не постоянно обновляется, а можно пару часов не обновлять бед, то переезд достаточно простой:
Делаете дамп бд (mysqldump)
Делаете архив сайта (tar)
Переносите эти данные на новый сервер
Восстанавливаете бд
Распаковываете файлы
Делаете настройки сервера
Прописываете в hosts имя сайта и новый ип
Проверяете что все корректно
Обновляете запись днс на новый ип
Через 2 часа ваш сайт на новом месте доступен по миру, ну или 12, у кого какой кэш :)
Если изменения идут постоянно, то перенос надо делать через поднятие репликации бд со вторым сервером, но думаю у вас все проще