Вам следует создавать Docker-контейнер таким образом, чтобы в нём работал один ключевой процесс (у которого будет PID 0), завершение которого означает завершение работы контейнера. Код выхода этого процесса будет кодом выхода контейнера. Вы сможете увидеть его в выводе `docker ps --all`. Подробнее здесь:
each-container-should-have-only-one-concern. Это не означает, что в контейнере должен быть всего один процесс, но должен быть один такой процесс, жизненный цикл которого неразрывно связан с жизненным циклом контейнера.
Логи этот процесс должен писать в STDOUT и STDERR - тогда Вы их сможете увидеть с помощью `docker logs ` и перенаправить куда надо с помощью драйвера логирования, настроенного в Докер-демоне. Подробнее здесь:
View a container's logs