После перезагрузки страницы всё приложение на Vue обновится, соответственно вам необходимо постоянное временное хранение для состояния этого селекта и возможно других данных.
Самое простое без участия бэкэнда это можно организовать средствами браузера в localStorage. У него есть методы setItem и getItem куда вы можете сохранять строку. Это может быть значение конкретного селекта или объект с разными временными данными, которые необходимы для вашего приложения. Перед сохранением в localStorage не забудьте пропустить объект через JSON.stringify перед сохранением в localStorage, т.к. там можно хранить только строки.
Также при загрузке вашего кода на Vue вам нужно в onMounted вашего компонента прописать проверку если есть данные в localStorage то брать их и устанавливать селект в нужное положение. Если ранее вы сохраняли JSON строку, то необходимо после получения данных из localStorage их распарсить через JSON.parse
