Илья Левин

Предположительно, необходимо $this->fullName разбивать по пробелу и получать имя, фамилию и отчество отдельно.
Запрос не работает, т.к. в последних строках $this->fullName подставляется во все три поля в like.
Но просто разбивать по пробелу введенную строку не совсем корректно - слишком много степеней свободы (например, вы же не знаете, в каком порядке пользователь ввел имя и фамилию, сколько полей он ввел, а если слово всего одно - имя это или фамилия и т.д.). Следовательно, в форме под эти цели нужно сделать три различных поля и данные с каждого из них подставлять в запрос по отдельности.

У yii2 есть js-библиотека для работы ActiveForm. Судя по данному гайду, можно делать так:

$('#contact-form').yiiActiveForm('add', {
    'id': 'contact',
    'name': 'contact',
    'container': '.field-contact',
    'input': '#contact',
    'error': '.field-contact .help-block'
});

Перемещать каким образом? И как вы представляете себе папку?

1. Всё-таки "класть", а не "ложить". :-)
2. Название фреймворка лучше указывать в заголовке вопроса, а то он получается оторванным от контекста и неинформативным.