iljaGolubev

Если работает - правильная. Но не красиво.
1. Для пагинации есть https://laravel.com/docs/5.6/pagination. Так что {page} тут лишний. И вообще - /brand/2 - 2 должен быть брэндом на не номером страницы.
2. Я так понял, что brand|product длжны быть в таблице меню? Роуты можно регистрировать в цикле по таблице меню: не зарегистрирован - значит не найден. что-то вроде

foreach(\App\Menu::all() as $menu){
    Route::get($menu->module_slug, $menu->module_slug.'Controller@index');
    Route::get($menu->module_slug.'/{slug}', $menu->module_slug.'Controller@by_slug');
}
// хотя если пунктов меню не слишком много лучше сделать как предложено выше
...
// module_slug = 'Brand'
class BrandController{
    ... index(){}
    .... by_slug(\App\Brand $slug){}
}

+ использовать https://laravel.com/docs/5.6/routing#route-model-b...

Если работаете через Active Record, то лучше на каждую сущность отдельную модель (класс). Такое дублировние кода не всегда плохо - зависит от сложности работы каждой модели и от различий в их функционале.
При этом в БД у вас может быть и одна таблица Contents в которой хранятся все типы содержимого, а для фильтрации каждой модели применить global scope, например.
Одинаковые методы моделей полключать через traits.

Если непонятно в чём ошибка - сверстайте тестовую страницу без blade на чистом HTML.
У вас ошибка совсем не в Laravel. Прочтите тут.
Ну а для копипаста - ябы сделал как-то так:

<li><label><input name="question[{{$question->id}}]" type="radio" value="a">Постоянно</label></li>
<li><label><input name="question[{{$question->id}}]" type="radio" value="b">Иногда</label></li>
<li><label><input name="question[{{$question->id}}]" type="radio" value="c">Время от времени</label></li>

1. В конфиге nginx для этого сайте не должно быть строки location = /robots.txt { access_log off; log_not_found off; }
2. Route with Streamed Downloads

Route::get('/robots.txt',function(){
   return  response()->streamDownload(function () {
       echo \App\Block::where('kind', 'robots.txt')->first()->code;
   }, 'robots.txt', ['Content-Type'=>'text/plain'],'inline');
});

Если одна модель - метод в модели или scope.
Если это для разных моделей, то мой выбор - копипаст. Ну или trait в модели.
Если же для этих разных моделей строятся однотипные отчеты, то я использую

class ReportRepository{
    function __construct(ReportableModelInterface $model){}
    function getSimpleReportData($id){}
    function getCustomReportData($id, $any){}
}

Я предпочитаю для блокирования пользователей использовать возможности Soft Deleting.
Для таких моделей по умолчанию применяется scope, который исключает из выборки удалённых (заблокированных) пользователей.
И наоборот, чтобы отправить удалённому пользователю ссылку на восстановление пароля, в коде нужно указать App\User::withTrashed()->('id', 100500).

А в чём проблема то? Если все статьи лежат в одной таблице, то:

// GET site.ru/seo_friendly_article_name
Route::get('/{article_slug}', 'ArticleController@article');

// в контроллере
public function article(Article $article_slug){
    // определяете нужное представление
     return view("articles.categories.{$article_slug->category_id}.show", ['article' => $article_slug]);
}

1.

скрипт перестает работать

- это не диагноз. это магия.
2.

выбором опций, за которые отвечают скриптовые файлы

- что за файлы? когда они подгружаются? может там события на элементах которые появляются на странице только после загрузки модального окна?
3. Используйте POST запросы только для изменения данных. Для отображения содержимого - GET.
4. TokenMismatchException - c POST запросом нужно передавать csrf-token

$.ajaxSetup({
    headers: {
        'X-CSRF-TOKEN': $('meta[name="csrf-token"]').attr('content')
    }
})

6. Сделайте страницу, которая отображает содержимое модального окна и отправляет данные без аджакс. Убедитесь что работает.
7. Забудьте про jquery - используйте vuejs.

Должно быть

class CustomAuthController {
    public function validate (Request $request) {
        $rules = [
            'username' => 'required|string|max:255',
            'email' => 'required|string|email|max:255',
            'password' => 'required|string|min:6',
            'invite' => 'required|integer|min:6',
        ];

       // Внимание
       $request->validate($rules);            
    }
}

Проверьте config/session.php?

'lifetime' => env('SESSION_LIFETIME', 120),
'expire_on_close' => false,

Проверьте в .env
SESSION_LIFETIME=120

Может это?
https://laravel.com/docs/5.6/controllers#route-caching
нужный роут есть в artisan route:list ?
а ещё вот

В config/auth.php так?

'defaults' => [
        'guard' => 'web',
        'passwords' => 'users',
    ],

Если в роуте не определён используемый guard, то используется дефолтный.
Решений можно придумать много...
Попробуйте auth()->guard('api')->user(), например.