Андрей Шубин

А где у вас само подключение к базе? Путь до файла? Она у вас вероятно в inmemory mode, вот и не сохраняется ничего.

Кстати ваш вариант вставки данных не очень хорош. Используйте плейсхолдеры.

Можете указать конкретные поля, которые хотите задать.

INSERT INTO users (id_chat, id_user, username) VALUES (1, 1, '1');

Рекомендую поизучать синтаксис SQL. Он не сложный, но избавит вас от кучи подобных вопросов.

Не совсем понимаю в вашем случае про "не париться". Судя по задаче сложность и объемы кода будут примерно одинаковы под все виды хранения, но я бы всё таки предпочел БД, так как на разные доработки она будет более гибкой.