iamoverit

Вызывая $model->whereNotIn('id', $ids) вы устанавливаете внутри объекта $model свойство where которое учитывается при последующем обращении к $model->get()
что бы сделать два разных запроса вам нужно использовать два разных объекта $model например так:

$model = new \App\Item;

if($value = $request->get('value'))
    $model = $model->where('title', 'like', '%'.$value.'%');

$paramsecheckedModel = clone $model;
$params = $model->whereNotIn('id', $ids)->orderBy('title', 'asc')->get();
$paramschecked = $paramsecheckedModel->whereIn('id', $ids)->orderBy('title', 'asc')->get();

$query = $model->toSql();
$query2 = $paramsecheckedModel->toSql();
dd([$query, $query2]);