В принципе, задача скачивания видео в Dropbox решается с помощью любого сервиса прямого скачивания с YouTube (в URL к домену youtube приписываются пара букв), либо с помощью плагина к браузеру. Не могу придумать сценарий использования такого сервиса.
Более того, такой сервис существовал, но почил в бозе — VideoDropper.