Берете дешевый VDS. Например, тут -
https://firstvds.ru/products/vds_vps_hosting (не реклама).
Можете также повесить на него ПУ, что облегчит вам жизнь, но также добавит 190 рублей в месяц. Я бы не стал брать ПУ, так как у вас примитивная задача и настройка только под один проект - API.
Далее, если вы знаете PHP, то гуглите и находите что-то типа такого:
anton.shevchuk.name/php/create-restful-api
В любом случает, запрос для гугла: "restful api название_языка".
Если вы не знаете PHP, то реализовывать можете на чем угодно. Я могу посоветовать посмотреть в сторону NodeJS.
Далее, когда вы подготовили сервер, а также написали свое API, то самое время поговорить о безопасности. По http передавать данные сейчас не модно и всегда не безопасно. Поэтому гуглите насчет https. Как вариант для бомжей:
https://www.cloudflare.com (но этот сервис правда очень хорош).
P.S.: Поскольку, как вы сами заявили, ничего в этом не смыслите, то лучше поручить эту работу знающему человеку, притом подобная реализация не так уж и дорого стоит (я ни на кого не намекаю). 
