Если я правильно понял проблему, она заключается в том, что blur у input отрабатывает раньше и удаляет тот div, на который был сделан click.
Пара идей:
1. Событие mousedown на div сработает раньше, чем blur на input. То есть можно подписаться на него и сделать нужные манипуляции с еще живым div-ом. Минус в том, что не всякий mousedown заканчивается click-ом, и не всегда mousedown происходит на том же элементе, что и click.
2. Удалять div прямо в blur необязательно. Например, его можно скрыть и взвести таймер на удаление. При обработке клика на div таймер отменить и показать div обратно (или что там за манипуляции нужны).