Библиотека какая? org.telegram? У него есть класс SendMessage, через который можно отправлять сообщения. Не забудьте прикрутить метод execute(), т.к. класс сам по себе не отправляет сообщение.

Ну, а по кнопке всё просто, логика такая:
1) При нажатии на кнопку прилетает update
2) Обрабатываете логику (проверяете что это именно от кнопки запрос прилетел и если так то формируете рассылку)
3) Отправляете рассылку.