efters

В функции name вы не ставите снова next_step_handler, соответственно в следующий раз вызывается стандартный обработчик, который никак не реагирует, но ставит next_step_handler. Второе сообщение будет уже обработано правильно.

Правильный код name

def name(msg):
    answer = 0
    
    if (msg.text == "Я ищу команду"):
        answer = "Все проекты"

    if (msg.text == "Я ищу проект"):
        answer = "Все участники"

    bot.register_next_step_handler (msg, name)
    if (answer):    # без этого, если ни один из if не отработает, бот упадёт с ошибкой
        bot.send_message(msg.chat.id, answer)