Виктор Голованенко

Предложить запись на стене можно с использованием метода API wall.post. В документации указано, что этот метод можно вызвать с использованием с ключом доступа пользователя (access token), полученным в Standalone-приложении через Implicit Flow.
Существует также неофициальный, на мой взгляд, более простой способ получения ключа доступа через известные приложения ВК (VK Admin, Kate Mobile и пр.), но используйте его на свой страх и риск: https://vkhost.github.io/

В этой строке метод fetchone() возвращает один результат в виде кортежа полей, в вашем случае состоящего из одного элемента — значения поля time:
last_command_use_time = cursor.fetchone()
Поэтому вы можете извлечь из него первый элемент и положить его в last_command_use_time:
last_command_use_time = cursor.fetchone()[0]
Никогда не используйте f-строки или иной способ форматирования для подстановки значений в SQL-запросы: это может вызвать проблемы с безопасностью приложения. Как верно отметил Vindicar, лучше использовать средства вашего драйвера СУБД для подстановки параметров в запросы (parametrized quieries).
К тому же, для ограничения частоты выполнения каких-либо действий в вашем приложении обычно лучше использовать решения на базе быстрых хранилищ "ключ-значение" вроде Redis или Memcached, чем на базе реляционных СУБД (коей является PostgreSQL).
Советую обратить внимание на инструмент PyrateLimiter: он обеспечивает ограничение частоты выполнения функции (либо корутины, что может быть полезным в вашем случае) и в качестве хранилища может использовать оперативную память (queue.Queue), Redis или SQLite.

Можно использовать user long poll API для получения новых сообщений в реальном времени. Он реализован в vk_api. Получать сообщения, которые были отправлены аккаунтом, на котором запущен юзербот, и изменять их можно так:

import vk_api
from vk_api.longpoll import VkLongPoll, VkEventType


vk_session = vk_api.VkApi('+71234567890', 'password')
vk_session.auth()
vk = vk_session.get_api()
longpoll = VkLongPoll(vk_session)

for event in filter(lambda e: e.type == VkEventType.MESSAGE_NEW and e.from_me, longpoll.listen()):
    text = event.text
    if text.startswith('!погода'):
        vk.messages.edit(
            message_id=event.message_id, peer_id=event.peer_id,
            message='☀ Сегодня солнечно, 27°C'
        )

Если нужно получать все сообщения, то просто убрать e.from_me:

...
for event in filter(lambda e: e.type == VkEventType.MESSAGE_NEW, longpoll.listen()):
...

Ещё, может быть, вам стоит попробовать vkbottle — фреймворк VK API, предназначенный, в первую очередь, для разработки ботов.