Dmitri

Может user.id а не user_id ?

Сделать парсер этого сайта и проверять каждые несколько минут. При изменении отправлять сообщение в телеграм.
Много гайдов на эту тему.
https://www.youtube.com/watch?v=4L57oY3J378
Можешь на примере этого видео сделать под себя.

Через обращение к функции,в зависимости от сообщения. Типо if message.text == 'news': ну и дальше думаю понятно.

Ну привяжи к кнопке сallback,в чём проблемы так-то ?

Смотря какую библиотеку используете.