Yuri Shikanov

Вроде оно - Use SSH to Create an HTTP Proxy.

Вешаете POST-хук в битбакете. На сервере, на указанном в битбакете порту, слушаете запросы и при каждом новом запросе, выполняете git pull и тд.

То что вам нужно и есть git.
Вы пишите код, пушите его, срабатывает git-hook, который выполняет deploy на ваш сервер.
Для синхронизации БД используете миграции, которые автоматически применяются при разворачивании на сервере.

Попробуйте вручную запустить git pull и пришлите сюда сообщение которое выведется.