Yuri Shikanov

Берите обычный low-level клиент к elasticsearch и юзайте его. Лучше разделяйте как можно сильнее, не нужно жестко связывать эластик с монгой, вдруг вы захотите поменять кого-то из них, так вам будет сделать это проще.

В литерал объекта нельзя передавать название атрибута в переменной.
Вот так будет работать:

updateUser: function (userId, data, param) {
        var key_value = {};
        key_value[data] = param;
        User.update ({_id: userId}, key_value, function(err){
            if (err) {throw err;}
        });
    },

Этот плагин добавляет в модель поле, которое затем используется для сортировки, соответственно, если у вас есть документы в коллекции, добавленные не через эту модель (с подключенным плагином), нужно добавить поля в существующие документы:

// if you have an existing collection, it must first by synced.
// this will add random data for the `path` key for each doc.
Song.syncRandom(function (err, result) {
  console.log(result.updated);
});

Используйте async и будет вам счастье.

Mongoose сам достаточно умный, чтобы управлять соединениями. См. документацию (раздел Connection pools)

Текущий метод не безопасный. Вам нужно делать атомарную операцию с инкрементом.
В mongoose это делается при помощи findOneAndUpdate.
Примерный код будет следующий:

UserSchema.pre "save", function(next) {
    var self = this;
    UrlNameCounter.findOneAndUpdate({username: this.username}, {$inc: {count: 1}}, {upsert: yes},
    function(err, counter) {
        if (counter.count > 1) {
            self.username = self.username + "-" + counter.count;
        }
    })
}

Т.е. вам потребуется дополнительная модель, которая будет хранить счетчики.

В документации все нормально описано, сам по ней разбирался. Если что-то конкретное, то спрашивайте.