Git (GitHub) - отличный выбор в качестве системы управления версиями для кода.
Ещё вам не помешает использовать миграции, т.к. изменение структуры базы данных будет происходить и синхронизировать её вручную не лучшее решение.
Существует. Это очень просто.
— Клонируете репозиторий с bitbucket.
— Создаете новый репозиторий на github
— Добавляете адрес нового репозитория: git remote add github <адрес_нового_репозитория>
— Пушите в новый репозиторий: git push github master
