Ну тут все просто.
Вам надо:
1. Добавить content script, который вставляется во все страницы.
2. В pasteRandom отправить сообщение контент-скрипту с id элементом и нужным текстом.
3. Скопировать insertTextAtCursor в контент-скрипт.
4. В контент-скрипте создать листенер, который будет слушать сообщения с background page и вызывать insertTextAtCursor.
Все.