Ничего не надо пушить на боевой сервер. Вы путаете процессы.
Репозиторий один. Он у вас на github. Пушите _только_ туда.
Пуллите (git pull) и в локальный для работы, и на тестовые и на боевой.
То-есть на боевом, для развертывания проекта:
git clone ....
Далее при наличии изменений в коде
git pull