Если вы используете bitbucket, то там есть паплайны, которые позволяют запускать различные сценарии на разные события. Такой сценарий должен подключиться к вашему серверу и выполнить "git pull" и "composer install".
В github/gitlab есть свои не менее мощные инструменты, выполняющие те же задачи.
Есть еще веб-хуки, позволяющие запустить какой-либо скрипт на вашем сервере, доступный через http. Но этот подход считается устаревшим и не рекомендуется.
Если у вас свой репозиторий, то в git есть хуки (обычно хранятся тут: ".git/hooks"). По сути это тоже запуск вашего сценария в ответ на какое-либо событие. Только на этот раз сценарий может быть расположен локально и он просто должен выполнять "composer install".