У Вас на момент когда Вы вешаете обработчик нету елемента с селектором img.close, по этому не работает. Вам нужно или использовать делегирование событий или использовать селектор img, a внутри него проверять какой сейчас класс
Вот это можно попробовать, если не подходит, то как вариант создать div на странице с display:none запихнуть туда все что есть в textarea и уже с ним работать
Потому что вы его не выводите, функуция выполняется но она не подставляет значение в инпут. Другими словами вам нужно переопределять значение инпут внутри функции add
Почему gulp? Косые кавычки это фича из es6 а gulp насколько я знаю не умеет работать с babel, но это не точно)) короче Вам нужен babel и скорее всего поменять галп на webpack