Создать тестовый роут, если ответ 200, значит сервер запущен, можно запускать скрипты Unity. В Net Core по умолчанию при генерации Api проекта создается контроллер Value, вот допустим к нему и делать запрос по адресу
localhost:5000/value (у вас порт может быть не 5000 а другой)