Для аналитики мобильных приложений обычно используются готовые облачные решения, вроде
https://firebase.google.com/docs/analytics/
Если вам нужно отслеживать именно действия пользователя в приложении - то вы в нужные места расставляете вызовы фреймворка для аналитики. Если нужно писать действия в файл, в своём формате - пишете свой логгер действий, который работает с файлом.
Если у вас есть необходимость сохранять логи именно на сервере - то разработкчик API должен для вас добавить возможность загружать файл с логами на сервер, или написать несколько методов в API, которые будут на сервере записывать логи, а вы будете их вызывать в нужный момент.
Если же нужно отслеживать не действия в приложении, а какие-то действия, которые не зависят от конкретного клиентского приложения, а связаны только с методами API - то это чисто серверная задача.
