Вопрос хоть и передаёт суть, не говорит об условиях вашего кода.
По клику на отправку почты, вы делаете переход на страницу со скриптом, или вызываете ajax, который шлёт отправку писем без перезагрузки страницы?
Если по клику на отправку почты происходит редирект, то поставленную задачу сделать невозможно.
Если вы делаете ajax запрос, то в случае успеха вы должны вернуть некоторый ответ, который потом нужно разобрать и там уже сгенерировать окно с результатом, например с помощью jquery
$.post(
'someUrl',
{
mailAddress: 'someAddress',
mailTitle: 'someTitle',
mailText: 'someText'
},
function (response) {
if (response === 1){
alert("Спасибо! Ваше сообщение отправлено");
} else {
alert("Во время отправки произошла ошибка. Ошибка: " + response);
}
}
);
Пример не является решением, лишь пример.