Александр Белоцерковский

Вы можете попробовать API Management для хостинга API.
HTML-сайт проще всего разместить на сервисе Azure Web Sites.
Либо объединить в пределах одного проекта и Web API и HTML.

После деплоя куда?
Fiddler-ом смотрели, что происходит?
ARR используете?
Если вебсайт, не в режиме ли Free?