Хороший вопрос - это уже половина ответа. Да вы можете интегрировать бота в свой сервер.
От telegram вам надо будет получить token, а telegram от вас надо будет получить url(webhook) куда они будут отправлять различные события и данные.
Соответственно - далее вы уже на свое усмотрение реализовываете обработку.
