Да, можно. Вот документация
https://tech.yandex.ru/disk/api/reference/public-d...
Вкратце, необходимо взять полученную публичную ссылку и обработать ее через urlencode. Получите:
https%3A%2F%2Fyadi.sk%2Fmail%3Fhash%3DcDPZbg71i2Bo80Y7kUnZyQ5WPKM685Cubv3A8j3rPPg%253D
Затем отправить запрос, в котором в качестве public_key указать закодированный публичный url:
https://cloud-api.yandex.net/v1/disk/public/resour...
В ответ получите json с прямой ссылкой на скачивание файла:
{"href":"https://downloader.disk.yandex.ru/disk/f9b20c3dbd34328c52b62dde0bc0af296c9744333cb39c4fd64e9715d8c895f1/5d0550ed/Gl5hixkLDPWPTXhYLxRGzwIU6SE6zbIztnJBcyBcjxKgxsJiX5ITcwuvga79wVd1Ag1LkmeJkjhEVwtWAwsZHA%3D%3D?uid=0&filename=IMG_1890.JPG&disposition=attachment&hash=cDPZbg71i2Bo80Y7kUnZyQ5WPKM685Cubv3A8j3rPPg%3D%3A&limit=0&content_type=image%2Fjpeg&fsize=5995787&hid=0b77247ae14e2c4d8933a22b211b6485&media_type=image&tknv=v2","method":"GET","templated":false}