Arkadiy Parinov

Вставьте e.preventDefault(); в самое начало метода save и измените бинд onClick на

<Button bsStyle="primary" onClick={(e) => this.save(e)} type="submit">Save</Button>

По большому счёту ответ: никак =)
React это client-side библиотека, его задача данные показать, да пользовательские данные собрать. Для реализации сохранения/загрузки данных вам необходимо будет создать отдельное приложение (Node.js/Python/PHP/ASP.NET или любом другом, гуглите инструменты для создания RestAPI) с API методами, внутри которых уже и будет вся работа с БД. А реакт будет просто дёргать соответствующие методы посредством, например, AJAX запросов и выводить данные пользователю.