Вставляешь это в свою форму
<div class="g-recaptcha" data-sitekey="SITEKEY" id="captcha"></div>
Это PHP проверка на стороне сервера
$url1 = 'https://www.google.com/recaptcha/api/siteverify?secret=SECRET&response='.(array_key_exists('g-recaptcha-response', $data) ? $data["g-recaptcha-response"] : '').'&remoteip='.$_SERVER['REMOTE_ADDR'];
$resp1 = json_decode(file_get_contents($url1), true);
if ($resp1['success'] != true) {
// Тут код, который срабатывает в случае ошибки
// Пример: $errors[] = 'Не правильно решена каптча';
}
SITEKEY и SECRET бери в своем аккаунте recapthca