<input <?= $_GET["checkboxname"] == "Y" ? "checked='checked'" : "" ?> type='checkbox' name='checkboxname' value='Y'>
Попробуй так. Если есть value у чекбокса, то оно передаётся если чекбокс выставлен. Код набирал прям тут могу где-то опечатываться, вроде должно работать.