Владислав

Чтобы транзакции работали нужно queryRunner передать createQueryBuilder.
Касательно примечания в конце вопроса, ответ - нет. Так транзакции работать не будут.

const queryRunner = this.dataSource.createQueryRunner();
    queryRunner.connect();
    queryRunner.startTransaction();

    try {
      const u = await this.repository
        .createQueryBuilder('u', queryRunner)
        .update({ password: passwordHash })
        .where('email = :email', { email: user.email })
        .returning('*')
        .updateEntity(true)
        .execute();

      const p = await this.passwordUpdateLogsRepository
        .createQueryBuilder('p', queryRunner)
        .insert()
        .values({ user: { id: user.id } })
        .execute();

      queryRunner.commitTransaction();

      return new HttpException(lang.ru.passwordChanged, HttpStatus.OK);
    } catch (error) {
      console.log(error);
      queryRunner.rollbackTransaction();
      throw new BadRequestException(lang.ru.error);
    } finally {
      queryRunner.release();
    }