Владимир Проскурин

Не совсем понятно, что значит не работает? Я не вижу реализацию метода save. И точно this это undefined а не сам метод? Можете вместо bind сразу определять метод save как стрелочную функцию, тогда проблем с this не будет.
По текущему коду сложно понять, в чем у вас проблема. То, что вы делаете, это стандартная задача - передача функции в компонент https://ru.reactjs.org/docs/faq-functions.html

Запоминайте id таймера, и в методе componentWillUnmount удаляйте таймер через clearTimeout
Будет как-то так

export default class LoadingMask extends React.Component {
constructor(props) {
    super(props)
    this.state = {
        togle: false
    }
    this._timeId = null;
}

componentDidMount () {
    this._timeId = setTimeout(() => this.setState({togle: true}), 3000)
}

componentWillUnmount () {
    clearTimeout(this._timeId);
}

render() {
    return (
      <View>
        {this.state.togle ?
        <View style={{flexDirection: 'row', justifyContent: "center", marginTop: 20,}}>
            <Text style={{marginRight: 20, color: '#4488fe'}} onPress={this.props.action}>Попробовать еще раз?</Text>
            <Ionicons name="md-refresh" size={20} color="#4488fe" />
        </View>
        : <ActivityIndicator size="large" color="#CCC" /> 
        }
      </View>
    )
}

}