VBart

Ставится задание в очередь, запускается обработчик очереди. Ничего специфического.

Копать в сторону, что такое домен, что такое MX запись.

Mozilla Thunderbird

IMHO вопрос надо решать на уровне MTA.

«А что лучше, Exim или Postfix?»
Exim.

«Подскажите, с чего начать, и что читать? Руководства по Exim или Postfix не предлагать»
Хочу научиться плавать, что делать? Плавать не предлагать.