В git есть такое понятие как hook — действие, которое выполняется по какому-то событию. Вот на событие одобрения pull request можно повесить вызов скрипта на сервере через GET-запрос, а этот скрипт в итоге обновит репозиторий и обновит страницу. Как-то так реализовано, по-моему, на djbook.ru (я там стараюсь с переводом помочь).