Посчитал наиболее оптимальным решением использовать сервис Code push,
Который позволяет обновлять адрес сервера, но и весь код в приложении обновлять по воздуху , даже после публикации
"React native code push npm"
2 варианта:
1. Создать состояние открытости меню и изменять его при нажатии. Оформление выполнить через style, position absolute и далее задавать параметры положения (top, left)
2. Наиболее распространённой библиотекой является rn materials. Там есть меню
