SlNik

Возможно такой способ тебе подойдёт:
1 - Измени private на public у метода ExecuteChangeMethodName
2 - Приведение типов делай не к string, а к radiobuttons
3 - В параметры передавай тот radiobuttons которому нужно изменить Name

MainViewModel DataContext = new MainViewModel();
            Button button = new Button();
            button.Name = "Имя №1";
            DataContext.MethodViewModel.ExecuteChangeMethodName(button);

  public void ExecuteChangeMethodName(object parameter)
        {
            Button button = (Button)parameter;
            button.Name = "Новое имя";
        }