Почему не срабатывает catch?

Видимо ваши операции при завершении не считаются неудачными и они переходят в fulfilled и поэтому игнорируют catch

Почему не срабатывает catch?

Немного вас не понял)
Смотрите, вы делаете какое-то асинхронное действие, и когда оно заканчивается, то промисс переводится в fulfilled (с результатом) или rejected (с ошибкой)

// В ней можно делать любые асинхронные операции,
// А когда они завершатся — нужно вызвать одно из:
// resolve(результат) при успешном выполнении
// reject(ошибка) при ошибке

Почему не срабатывает catch?

У тебя не попадает в catch, потому что не происходит reject промиса.

Если в функции промиса происходит синхронный throw (или иная ошибка), то вызывается reject

Есть ли возможность внести изменение стилей в дефолтной иконке чата?

Можно попробовать типа

[class*="b24-crm-button-icon"] {
    // перебить стили на какие вам нужны (возможно придется с !important)
}

Как правильно подключить fontawesome?

Нужно смотреть как ты его подключаешь. Например, как шрифт или спрайт иконок. И соответственно проверить во вкладке Network подгружается ли вообще что-то для них.

Почему catch в промисе axios выполняется всегда?

Нужно понимание, что происходит в procResponce. Обычно в catch переходит после ошибки (наподобии throw new Error)

Как удалить addEventListener?

Alex, согласен с Вами

Как удалить addEventListener?

Тогда может быть Вы корректно зададите вопрос?

Как удалить addEventListener?

Автор походу не понимает, что его вопрос задан некорректно, т.к. два человека написали ему про removeEventListener, но он ему не подходит.

Цикл для проверки ховера?

Так вы не написали для чего одновременно 3 карты?)
И почему сделать переключение между ними?)

Как добиться нужных значений?

Так сделайте svg иконки вместе с фоном, а не только символ в центре :)

Как добиться нужных значений?

Но нужно учитывать поддержку в браузерах)