Sergey Kuzmenko

Я предполагаю, что при нажатии на кнопку "Добавить" форма отправляется на сервер ещё до обработки JS.
Как вариант, можно заменить
<input value='Добавить' type='submit'>
на
<button id="submit">Добавить</button>
Так же подредактировать обработчик:

$("#submit").click(function () {        
            var form_data = $("#formPromo").serialize();
            $.ajax({
                type: "POST",
                url: "/promo/edit/promo.php",
                data: form_data,
                success: function () {
                    alert('Форма успешно отправлена!');           
                }
            });
            return false;
        });
});