Алексей

Не знаю как у вас там все настроено, но можете попробовать сделать следующее:

1. Дать доступ для всего каталога
   sudo chmod -R 750 /var/www/
   
   
2. Разрешить доступ к файлам вашего сервера
   
   Откройте файл apache2.conf, расположенный в
   /etc/apache2/apache2.conf
   
   Найдите строчку "Directory /var/www/" и напишите следующее
   

   <Directory /var/www/>
   	Options Indexes FollowSymLinks
   	AllowOverride All	
     Allow From All
   	Require all granted
   </Directory>

   
   
   Перезагрузил апач
   sudo service apache2 restart
   
   Все должно заработать
   
   

Вам же написано:
No such file or directory.

Т.е. отсутствует файл autoload.php по тому пути, который вы прописали. Вам надо генерировать composer.json в корне вашего проекта. В вашем случае в консоле пропишите команду:

/var/www/html
composer require google/apiclient:^2.0.0@RC

В каталоге "html" у вас должна создаться папка composer и 2 файла (composer.lock и composer.json). После этого все должно заработать. Самое главное, чтобы 2 файла(composer.lock и composer.json) лежали в одной папке с вашим файлом index.php.