Алексей

Убери this
В шаблоне не нужно

https://github.com/beholdr/maska

<ul>
  <li v-for="(item, index) in items">
    <label>
      <input type="checkbox" value="{{ item }}" v-model="cart[index]">
      {{item.name}}
    </label>
    <input type="text" v-if="{{ item.inputText }}">
  </li>
</ul>

Вам нужно в v-for добавить index и связывать методом v-model="cart[index]" или v-model="cart[index].value" если нужно в свойство value
Советовал бы перед этим создать методом в mounte'e

function fillCard() {
this.items.forEach((item) => {
   this.cart.push('') 
})
}

или

function fillCard() {
this.items.forEach((item) => {
   this.cart.push({
    value: ''
   }) 
})
}

В таком случае v-model="cart[index].value"

Вы можете написать функцию для отправки https запроса, в ней внутри сделайте постоянную вставку headers со своими значениями

Но я бы рекомендовал использовать axios для этого. тем-более если вы используете vue.

axios.defaults.headers.common['Authorization'] = AUTH_TOKEN;
axios.defaults.headers.post['Authorization'] = AUTH_TOKEN;