Robur

Смысл есть. Но может быть и достаточно заменить на JWT.
от проектов зависит.

Если ваш вопрос на самом деле был в том что "не устарели ли куки, и не стоит ли перестать их использовать в угоду токенной авторизации" - нет, не устарели.

После сохранения токена, дальше ничего не происходит, получается нужно вручную сразу же переходить по новой ссылке

У вас код который получает токен, сохраняет его и больше ничего не делает, поэтому у вас больше ничего и не происходит.
Дальше токен надо использовать.

Как правильно написать код, чтобы клиент перешел по защищеному роуту с таким хэдером: < "Authorization", 'Bearer '+ localStorage.token) >

Используйте headers при вызове $.ajax
тут описаны детали:
https://api.jquery.com/jQuery.ajax/

Если вы ждете что дальше оно будет работать "как-то само" как с куками - не будет. Надо этот токен использовать "руками", добавляя в запросы к серверу.