ReaverJS

Можно задать зеленому блоку z-index: -1;

Без JS - никак.
Вот вариант с js (url картинки - в дата атрибуте). С float выглядит не очень. Лучше определить отдельную область для таких картинок, а высоту регулировать c помощью offsetTop (jQuery - offset()).

Можно position: absolute-ом прибить кнопку к низу.

.gallery-grid div {
	background-color:#f1f1f1;
	overflow:hidden;
  position: relative;
  padding-bottom: 2rem;
}

.gallery-grid div button {
  position: absolute;
  bottom: 0;
  margin: .75rem;
}

Брейкпоинты тут не помогут - они лишь указывают с какого разрешения табличка МОЖЕТ скролиться. Но т.к. контент по-факту и так влезает - то будут сжиматься колонки.

Как вариант - указывать минимальный размер самой таблицы внутри table-responsive.